比特币 (7):交易脚本中的椭圆曲线加密算法

By | 2018-04-15
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一、重新审视RSA

RSA之所以能作为非对称加密算法,其实有两点:

1. 基于大整数质数分解这个数学难题。这个难题,求解出来很困难,但是验证它很简单

2. 私钥签名之后,利用公钥进行验证的还原公式,RSA里面就是欧拉定理。

在比特币中,非对称加密使用的数学难题是离散对数问题。

二、椭圆曲线算法的数学难题

在阅读本节之前,可以先阅读ECC加密算法入门介绍,什么是椭圆曲线呢,并不是我们高中所学的在连续实数域二维平面上的椭圆曲线,而是定义在有限域(有限个离散的值组成的集合)射影平面上的曲线。

先不考虑有限域和射影平面,假设还是在连续实数域二维平面上,就像二维平面上其他曲线都有方程一样,椭圆曲线的方程是:

y+ a1xy + a3y = x+ a2x+ a4x + a6

且曲线上的每个点都是非奇异(或光滑)的,也就是都有切线。

(下面都只讨论实数域和二维平面上的情况,理解了这部分,剩下的仅仅是扩展的问题,非常容易理解)

根据参数不同,曲线形状不同,比如

 

在这条曲线上定义了加法:

就像上图,先定义一点G,然后过G做该椭圆曲线的切线,和椭圆曲线相交于另外一点,称为点-2G,找到点-2G关于X轴的点2G,该点在椭圆曲线上,因为比特币选定的椭圆曲线是关于X轴对称的。(根据参数不同,有很多椭圆曲线,有些不关于X轴对称,有一些关于X轴对称,比特币选定的关于X轴对称的曲线叫secp256k1)。点2G称为点G + 点G的加法。如果G做k次加法,也就是 点2G + 点G = 点3G,点3G + 点G = 点4G,一直加k次,得到点kG。

那么数学难题是什么呢?数学难题是:已知k和G,得出K = kG,是容易的,有公式直接得出,但是由kG的结果K,和点G,得出k是困难的。你看,这也是一个验证很简单,但是求解很困难的事情。为什么求解很困难?其实是相对于从k和G得出K而言的。首先需要明确的是,一步一步的计算,从k和G能得出K(正向),从K和G也能得出k(逆向),时间复杂度也就是O(k),但是如果正向计算能使用一些方法快速求出来,而这个方法对逆向计算不适用,那么就构成了计算的非对称性。椭圆曲线加密算法正是这样的,正向计算可以使用比如 倍数-和 的方法(如果加法看成是乘法,那么就叫 平方-乘 的方法),但是逆向计算仍然没有找到合适的快速的方法。该部分可以参见《密码学原理与实践》的第六章。

三、椭圆曲线算法的还原方法的设计

下面只是一个例子,还有很多其他的方法。

1. 加密签名的过程:

A. 选择一条椭圆曲线和基点G
B. 选择私有密钥k,利用基点G计算公开密钥K = kG
C. 产生一个随机整数r,计算点R = rG
D. 将明文m和点R的坐标值x, y作为参数,计算SHA值,即Hash = SHA(m, x, y)
E. 计算sn = r – Hash * k
F. 将sn和Hash作为密文

2. 对应的验证过程如下

(公开的信息有:基点G,公开密钥K,sn,m和Hash)
A. 计算点R(x, y) = sn * G + Hash * K

B. 计算H = SHA(m, x, y)

C. 如果H和Hash值相同,则验证成功。

因为:
sn = r – Hash * k
则验证公式为:
sn * G + Hash * K
= (r – Hash * k) * G + Hash * K
= r * G – Hash * k * G + Hash * K
= r * G – Hash * K + Hash * K
= rG = R

(以上计算都是基于模的运算)

其实可以思考一下为啥需要一个随机数r,因为如果没有随机数,那么给出的密文是sn = Hash * k,因为Hash是已知的,所以这样暴露了k * Hash以及k * G,安全性会降低。

四、椭圆曲线算法和RSA的比较

1. 椭圆曲线算法的优点

  • 安全性能更高
  • 160位ECC与1024位RSA、DSA有相同的安全强度
  • 处理速度更快
  • 在私钥的处理速度上,ECC远 比RSA、DSA快得多
  • 带宽要求更低
  • 存储空间更小
  • ECC的密钥尺寸和系统参数与RSA、DSA相比要小得多

2. 椭圆曲线算法的缺点

  • 设计困难,实现复杂
  • 如果序列号设计过短,那么安全性并没有想象中的完善

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